Методы математического моделирования в кибербезопасности

Лабораторная работа № 1

Андрей Грыцькив

Российский университет дружбы народов

2026-02-26

Вводная часть

Цель работы

  • Изучить модель экспоненциального роста и её математическое описание
  • Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
  • Провести параметрический анализ влияния коэффициента роста \(\alpha\)
  • Проанализировать:
    • динамику роста \(u(t)\)
    • время удвоения \(T_2\)
    • вычислительные характеристики

Задание

  • Рассмотреть модель экспоненциального роста
  • Изучить её математическое описание
  • Провести вычислительный эксперимент при разных значениях \(\alpha\)
  • Визуализировать результаты

Теория: модель

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный рост описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

  • \(u\) — значение величины (популяция, капитал и т.п.)
  • \(t\) — время
  • \(\alpha\) — параметр роста
    • \(\alpha>0\) — рост
    • \(\alpha<0\) — затухание

Решение и характеристики

Решение ДУ:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Время удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Ключевые свойства:

  • при увеличении \(\alpha\) рост ускоряется
  • время удвоения уменьшается

Эксперимент: базовый

Базовый эксперимент (α = 0.3)

  • Рассмотрен рост \(u(t)\) на фиксированном интервале времени
  • Наблюдается ускоряющийся рост (экспонента)

Базовый эксперимент (α = 0.3)

Эксперимент: параметрическое исследование

Влияние α на рост

  • Выполнены расчёты для значений:
    • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
  • Чем больше \(\alpha\), тем быстрее система растёт

Влияние α на рост

Время удвоения

Теоретическая зависимость:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

  • Численные результаты совпадают с теорией
  • При росте \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время удвоения

Время вычислений

  • Оценена зависимость времени расчёта от \(\alpha\)
  • Изменения носят слабый характер

Время вычислений

Итоги

Выводы

  • Численные эксперименты подтвердили теоретические зависимости
  • При увеличении \(\alpha\):
    • рост ускоряется
    • время удвоения уменьшается
    • вычислительная нагрузка растёт незначительно