Цель работы

• Изучить модель экспоненциального роста и её математическое описание
  
• Получить аналитическое решение дифференциального уравнения
• Провести параметрический анализ влияния коэффициента роста \(\alpha\)
• Проанализировать:
  • динамику роста \(u(t)\)
  • время удвоения \(T_2\)
  • вычислительные характеристики

Задание

• Рассмотреть модель экспоненциального роста
• Изучить её математическое описание
• Провести вычислительный эксперимент при разных значениях \(\alpha\)
• Визуализировать результаты

Дифференциальное уравнение

Экспоненциальный рост описывается уравнением:

\[ \frac{du}{dt} = \alpha u \]

Где:

• \(u\) — значение величины (популяция, капитал и т.п.)
• \(t\) — время
• \(\alpha\) — параметр роста
  • \(\alpha>0\) — рост
    
  • \(\alpha<0\) — затухание

Решение и характеристики

Решение ДУ:

\[ u(t) = u_0 e^{\alpha t} \]

Время удвоения:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \approx \frac{0.693}{\alpha} \]

Ключевые свойства:

• при увеличении \(\alpha\) рост ускоряется
• время удвоения уменьшается

Базовый эксперимент (α = 0.3)

• Рассмотрен рост \(u(t)\) на фиксированном интервале времени
• Наблюдается ускоряющийся рост (экспонента)

Базовый эксперимент (α = 0.3)

Влияние α на рост

• Выполнены расчёты для значений:
  • \(\alpha = 0.1,\;0.3,\;0.5,\;0.8,\;1.0\)
• Чем больше \(\alpha\), тем быстрее система растёт

Влияние α на рост

Время удвоения

Теоретическая зависимость:

\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{\alpha} \]

• Численные результаты совпадают с теорией
• При росте \(\alpha\) время удвоения уменьшается

Время удвоения

Время вычислений

• Оценена зависимость времени расчёта от \(\alpha\)
• Изменения носят слабый характер

Время вычислений

Выводы

• Численные эксперименты подтвердили теоретические зависимости
• При увеличении \(\alpha\):
  • рост ускоряется
  • время удвоения уменьшается
  • вычислительная нагрузка растёт незначительно